HIPOTESIS
STATISTIK
Katakan
X hasil suatu percobaan acak menyebar N (0,100) katakan juga dari pengalaman
terdahulu
= 75. Hal ini
dapat dikerjai bahwa tidak lebih lama
= 75 tetapi
> 75. Pemeriksaan
percobaan secara formal untuk
= 75 karena itu
permasalahan
= 75 adalah
suatu perkiraan / suatu Hipotesis Statistik.
Hipotesis
statistik
= 75 mungkin
salah, kita mengetahui dalam efek kemungkinan. Bahwa
≤ 75 karena itu
ada 2 hipotesis statistik.
1.
Barometer
≤ 75 yang tidak diketahui, yaitu tidak semakin
bertambah dalam
.
2.
Barometer yang tidak diketahui
= 75, karena
itu ruang barometer Ω = {
|~ <
< ~}.
Kita
menyebutkan hipotesis pertama dengan H0 :
≤ 75 dan kedua hl : 0 ≥ 75.
Karena
nilai
>75 adalah alternatif terhadap
> 75,
Hipotesis Hl :
≥ 75 disebut hipotesis alternatif.
Untuk itu kita pandang sampel acak X1,
X2, X3 … Xn dari suatu sebarang normal N
(0,100) dan kita turuti aturan yang akan memakai keputusan yang membuat nilai
percobaan. Katakan X1, X2, X3 … Xn
aturan tidak disebut uji hipotesis H0 ≤
75. Tidak ada
batas bilangan dari ukuran / uji yang dapat dibentuk. Kita akan pandang 3
bentuk uji. Kita partisi ruang sampel A dalam subset C dan komplemennya C. Jika
ini percobaan dari X1, X2, … Xn katakan X1,
X2, … Xn adalah, katakan X1, X2, …
Xn adalah titik (X1, X2, Xn
C, kiat
akan tolak hipotesis H0 (terima hipotesis) HI). Jika kita temukan (X1,
X2, … Xn EC kita akan terima hipotesis HI).
Tes pertama mis : n = 25, ruang sampel A adalah
kemungkinan {( X1, X2, … X25) 1~<x1 < ~,
I = 1,2 … , 25} subset C dari ruang sampel adalah C (X1, X2,
… X25) ; X1 + X2 … + X25 >
25.75}. Kita akan menolak hipotesis H0 jika dan hanya nilai
25 percobaan sedemikian hingga (X1, X2, … Xn)
C. Jika
(X1, X2, … X25) bukan unsur dari
C kita
akan menerima hipotesis H0 subset C dari ruang sampel yang menuju
percobaan hipotesis H0 : 0 ≤ 75 disebut daerah titik uji garis
pertama. Sekarang x =
Jika dan hanya
jika x > 75 dimana
=
karena itu kita lebih cocok mengatakan nolak hipotesis
H0 :
< 75 dan
menerima hipotesis HI :
> 75 jika
dan hanya percobaan ditentukan oleh nilai rataan. Contoh acak x > 75. Jika X
≤ 75 kita menerima hipotesis H0 : 0 ≤ 75 kita akan menolak hipotesis
H0 : 0 ≤ 75. Jika rataan dari contoh melampui nilai maksimum rataan
dari sebaran jika hipotesis H0 benar hal itu membuatkan 0 menerima
hipotesis alternatif) kalau pengujian pertama (test pertama) kita akan
menghitung Pr (X1, X2, … Xn)
C Pr (X
> 75). Jelaslah, peluang adalah fungsi dari Parometer
dan kita akan
menentukan dengan ke (
). Fungsi ke (
) = Pr (x > 75) disebut fungsi kuasa dari tes
I dan mulai fungsi kuasa pada titik Parometer disebut kuasa uji I, pada titik
leb karena x ~ N (0,4) kita memiliki.
catatan
: dalam hal ini : N (x) = Pr(x
X)
=
|
|
Ke
(
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
71
|
73
|
75
|
77
|
79
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tes : Misalkan
n = 25 kita akan menolak H0 ≤ 75 dan menerima HI :
> 75 dan tanya jika
> 78 Daerah
kritik adalah : C =
fungsi kuasa
untuk tes 2 karena X ~ N (0,4).
78 – 0
Beberapa nilai fungsi karena uji 2 adalah K2 (73) = 0,006. K2
(75) = 0,067. K2 (77) = 0,309, K2 (79) = 0,691 hal itu jika,
= 75, peluang
menolak H0 :
≤ 75, peluang
menolak H0 ≤ 75 adalah 0,067 ini lebih diingini dapat memandang
peluang pada diubah uji I bagaimanapun jika H0 gagal, dengan
kenyataan
= 77 peluang
menolak H0 :
≤ 75 (dan
karena itu menerima HI :
> 75) hanya
0,309 dalam contoh ini, peluang rendah 0,369 kebenaran, keputusan (penerima HI
ketika HI benar) ialah dapat objektif uji 2 tidak seluruhnya dipenuhi /
memuaskan.
Barangkali kita dapat alami seperti uji 3
berikut. Tes 3 : pertama pilih fungsi kuasa K3 (
) yang mempunyai Nilai kecil
= 75 dan nilai
besar
= 77 misalnya
K3 (75) = 0,159 dan K3 (77) = 0,841 untuk memerlukan uji dengan uji dengan satu
fungsi kuasa kita menolak H0 :
≤ 75 jika dan
hanya jika nilai percobaan x rataan contoh acak berukuran n lebih besar dari
beberapa konstanta,
itu daerah kritik c = {(x1, x1,
… x25) x1 + x2 + … xn
) = 1 – N
0,41
membutuhkan 1 – N
= 0,1591
1
– N
= 0,841 diperiksa dari tabel
= 1
= - 7
permasalahan
dari kedua persamaan ini memberikan n = 100, c = 76 wujud nilai n dan c, yang
lain kuasa 3 adalah K3 (73) = 0,001 dan
K3 (79) = 0,999, sangat penting mengamatinya bahwa walaupun uji 3 lebih
diujikan fungsi kuasanya dari 1 dan 2, suatu harga terbentuk telah dimulai
dengan ukuran contoh n = 100 yang dibutuhkan uji 3, padahal kita sudah memiliki
n = 25 pada uji 1 dan 2.
STATISTIK
CUKUP
Dalam pembicaraan terdahulu misalnya x1,x2…xn
menyatakan contoh acak berukuran n dari suatu sebaran f(x; θ), θ
S. Dalam setiap
beberapa contoh telah dibicarakan fungsi keputusan
dari suatu statistik Y = u (x1,x2…xn)
atau untuk lebih sederhana fungsi
dari x1,x2…xn
sehingga nilai harapan dari fungsi L(θ,
) yang diberikan adalah salah satu menimbulkan resiko
R (θ,
) yang diberikan adalah salah satu meminimalkan R(θ,
), yang mana terpakai sebaran kontinu.
terutama,
jika E [
(x1,x2…xn)] -
dan jika L (
,
) = (
,
)2, fungsi keputusan terbaik adalah suatu
varians minimum penduga tak bias
, yang dinamakan penduga terbaik dari parameter.
Suatu
ilustrasi
Misalkan
X1, X2, ….Xn menyatakan contoh acak dengan pdf
= 0, untuk yang lainnya
statistik
y1 = x1 + x2 + … xn mempunyai pdf
g1(y1:
) =
= 0, untuk yang lain
Peluang
bersyarat
Pr (X1 = x1, X2 = x2,
… Xn = xn | Y1 = y1)
= P (A|B) katakan y1 = 0,1,2,…n. Tanpa menjumlah bilangan bulat x1,x2,
…xn (tiap x bernilai 0 atau 1) adalah sama dengan y1
peluang syarat ini jelas bernilai nil karena A
B = Ø. Tetapi
dalam hal y1 =
kita
peroleh bahwa A
B sehingga A
B = A P A|B) =
P(A)/P(B) sehingga peluang bersyarat adalah :
=
=
karena
y1 = x1 + x2 + … xn sama dengan
bilangan A dalam percobaan bebas peluang bersyarat ini adalah peluang memilih
pengaturan utama y1 dari A dan (n-y1) dari nol. Dicatat
bahwa peluang bersyarat ini tidak tergantung nilai parameter
. Secara umum, misalnya g1 (y1;
) adalah fungsi padat statistik Y1 =
dimana x1, x2, … xn
adalah suatu contoh acak yang dibangkitkan dari suatu sebaran diskrit dengan
pdf : f(x;
),
. Peluang bersyarat dari X1 = x1, X2 = x2,
… Xn = xn diberikan oleh Y1
adalah
dengan mana x1,
x2, … xn sehingga titik tetap y1 =
dan adalah nol
untuk hal ini. Kita katakan bahwa Y1 =
ialah statistik
cukup untuk
jika dan hanya
jika perbandingan ini tidak tergantung pada
.
Defenisi : Misalkan
x1, x2, … xn, contoh acak berukuran n dari
suatu sebaran pdf f(x;
),
= Ω, misalnya Y1
=
statistik
dengan pdft g1 (y1;
), maka Y1 adalah suatu statistik cukup
untuk
jika dan hanya
jika
dimana H (x1, x2,
… xn) tidak tergantung pada
untuk nilai
tetap y1 =
.
Contoh
:
Misalkan Y1 < Y2
< … Yn adalah statistik tataan dari contoh acak x1, x2,
… xn dari sebaran dengan pdf f(x;
) = e-(x-0),
< x <
, -
<
<
= 0, untuk yang lain
pdf
statistik Y1 adalah g1 (y1;
) =
,
< y1
<
= 0, untuk yang lain
maka
diperoleh
Dimana
bebas dari
untuk tiap
nilai tetap y1 = mi (xi), karena y1
< xi, I = 1,2, … n.
Teorema : Misalkan
X1, X2, … Xn
contoh acak dari suatu sebaran pdf : f(x;
),
Ω. Statistik Y1
=
( x1, x2, … xn)
adalah statistik cukup untuk untuk
jika dan hanya
jika dapat diperoleh dua fungsi non negatif, k1 dan k2
sehingga : f(x1;
), : f(x2;
), … f(: f(xn;
) = k1(
x1, x2, … xn) ;
.
f(x1;
), : f(xn;
) = g1[
Contoh :
Misalkan X1, X2,
… Xn contoh acak dari sebaran baku
N(
,
),
<
<
, dimana varians
diketahui. Jika
=
karena
karena
itu pdf bersama X1, X2, … Xn dapat ditulis
=
Kita dapat gunakan defenisi
dalam contoh terdahulu karena kita tahu bahwa
Contoh :
Misalkan x1, x2,
… xn contoh acak dari sebaran.
F(x;
) =
xn-1,
0 < x < 1
= 0, untuk yang lain
dimana
0 <
kita akan menggunakan teorema
faktorisasi untuk membuktikan bahwa perkalian
(X1,
X2, … Xn) = X1,
X2, … Xn adalah suatu statistik cukup untuk
. Pdf bersama dari X1, X2, … Xn
adalah ;
( x1, x2, … xn)n-1
= [
( x1, x2, … xn)n
dimana 0 < xi < 1, I = 1,2 … n. Dalam
teorema faktorisasi misalnya k1[
( x1, x2, … xn) ;
] =
n (x1, x2, … xn)n
dan K2 (x1, x2, … xn) =
karena K2
(x1, x2, … xn) tidak tergantung dari
maka perkalian
X1, X2, … Xn statistik cukup.
Teorema : misalkan
X1, X2, … Xn menyatakan contoh acak dari suatu
sebaran bahwa pdf f(x;
),
. Jika suatu statistik cukup Y1 =
(x1,
x2, … xn) untuk
ada dan jika
penduga maksimum Likelihood
dari
juga ada dengan
tunggal, maka
ada suatu
fungsi Y1 =
(x1,
x2, … xn).
Bukti :
Misalkan g1(x1;
) pdf dari Y1. Maka dengan defenisi
statistik cukup, f Likelihood.
L
(
,x1, x2, … xn) = f (x1;
) f((x2;
) … f(xn;
)
= g1 [
(x1,
x2, … xn) ;
] (x1… xn) dimana H (x1,
x2 … xn) tidak tergantung
. Maka L dan g adalah fungsi dari
, adalah maksimum bersama-sama. Karena ada satu dan
hanya satu nilai
memaksimalkan L
dan karena itu g1 [
(x1,
x2, … xn). Karena itu penduga maksimum Likelihood
adalah
statistik cukup Y1 =
(x1,
x2, … xn).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar