Caisar Roberto: Teorema Neyman

TEOREMA NEYMAN - PEARSON

Misalkan X₁, X₂, …. X_n dimana n adalah suatu bilangan bulat positif tetap, menunjukkan contoh acak dari suatu sebaran pdf f(x;

). Maka pdf bersama dari X₁, X₂, …. X_n adalah :

L (

;x₁, x₂, …. x_n ) = f(x₁;

) f(x₂;

) … f(x_n;

)

Katakan

’ dan

’ dua nilai

berbeda sehingga Ω = {

;

’,

”} dan misalkan k suatu bilangan positif, C adalah subset dari ruang contoh sehingga :

untuk setiap titik x₁, x₂, …. x₃

= Pr [X₁, X₂, …. X₃]

C ; H₀

maka C adalah daerah titik terbaik sebesar

untuk menguji hipotesis H₀

’ melawan hipotesis alternatif sederhana H₁ :

”

Bukti :

Kita akan memberi bukti bila peubah acak adalah kontinu. Jika C adalah daerah kritik berukuran

teorema dibuktikan. Jika ada daerah kritik ukuran

yang lain katakan A untuk sebaliknya

akan ditandai dengan

. Kita ingin menunjukkan Pr [U₁ (X1, X2, … Xn) ≤ C₁ : H₀]

Karena C adalah gabungan C

A dan C

A* dan A adalah gabungan himpunan A

C dan A

C* yang disebut disjoint diperoleh :

(1)

bagaimanapun dengan himpunan L(

”) >

pada tiap titik C dan karena itu pada tiap titik C

A* sehingga

tetapi L (

”) >

pada tiap titik C* dan karena itu tiap titik C

A* karena itu

pertidaksamaan ini menunjukkan

dan dari persamaan (I) diperoleh

(2)

bagaimanapun :

= 0

jika hasil ini disubtitusikan pada (2) kita peroleh yang diinginkan

jika peubah acak distrik pembuktian sama dengan mengganti integral dengan jumlah perhatian :

Suatu aspek dari teorema menjadi tekanan adalah jika C menjadi himpunan semua titik-titik (x₁,x₂,… x_n) yang memenuhi :

, k > 0

maka menurut Teorema, C akan menjadi daerah kritik terbaik. Ketidaksamaan dapat sering dinyatakan dalam satu bentuk dimana (dimana C₁ dan C₂ konstan).

U₁ (x₁,x₂,… x_n;

’,

”) > C₂

Pandang bentuk pertama U₁ (x₁,x₂,… x_n;

’,

”) adalah suatu statistik dan pdf dari statistik ini dapat diperoleh bila H₀ benar, maka taraf signifikansi dari uji H₀vs H₁ dapat ditentukan dari sebaran ini yakni.

= Pr [U₁(x₁,x₂,… x_n;

’,

”) ≤ C₁ : H₀}

Bila positif k menandakan daerah kritik C yang besarnya

= Pr [X₁,X₂,… X_n)

) untuk k yang utama. Hal ini mungkin bahwa nilai

tidak cocok untuk tujuan yaitu terlalu besar atau terlalu kecil. Demikian jika ada statistik [U₁(X₁,X₂,… X_n)] seperti paragraf terdahulu yang pdf dapat ditentukan bila H₀ benar, kita tak membutuhkan percobaan dengan nilai bervariasi k untuk memperoleh taraf signifikansi yang diinginkan. Jika sebaran dari statistik diketahui atau dapat diperoleh kita dapat tentukan C sehingga Pr [U₁(X₁,X₂,… X_n)] < C₁ : H₀] adalah taraf signifikansi yang diinginkan.

Contoh :

Misalkan X₁,X₂,… X_n contoh acak dari sebaran dengan pdf

F(x;

) =

Uji hipotesis : H₀ =

’ = 0 vs H₁ :

” = 1

Sekarang

Jika k > 0 dengan semua titik (x₁,x₂,… x_n) sehingga

< k adalah daerah kritik terbaik.

Pertidaksamaan ini dipenuhi jika dan hanya jika – Σ xi + n/2 < in k sama halnya dengan – Σ xi + n/2 < in k = c.

Dalam hal ini daerah terbaik adalah himpunan C = {(x₁, x₂, …. x_n) ; Σ xi > c} dimana c adalah tetap dan dapat ditentukan sehingga besar daerah kritik adalah yang c adalah yang diinginkan

sama dengan kejadian x > c/n = c₁ sehingga pengujian dapat didasarkan pada statistik X dengan sebaran N (0, c/n), untuk suatu bilangan bulat positif n, besarnya sampel dengan taraf signifikan

, bilangan c₁ dapat diperoleh dari daftar, sehingga Pr (x > c₁ ; H₀) =

. Karena itu jika nilai percobaan x₁,x₂,… x_n berturut-turut x₁,x₂,… x_n kita akan menghitung x =

. Jika x > c hipotesis sederhana H₀ :

’ = 0 akan ditolak dengan taraf signifikansi

jika x < c₁, hipotesis akan diterima. Peluang menolak H₀ bila H₀ benar adalah

peluang menolak H₀ bila H₀ salah adalah nilai kuasa uji pada

’ = 1.

Pr(x ≥ c₁ ; H₁) =

Contoh jika n = 28 dan

= 0,05 maka dari tabel dapat diperoleh c₁ =

= 0,324 sehingga kuasa uji paling baik H₀ melawan H₁ adalah 0,05 untuk H₀ benar dan

bila H₁ benar ada aspek lain dari teorema ini menentukan sebutan khusus yaitu harus dikerjakan dengan bilangan parameter yang timbul dalam pdf. Notasi disarankan bahwa ada tetapi satu parameter. Bagaimanapun dibuat ulangan secara hati-hati untuk bukti akan mengungkapkan tak dimanapun diperlukan pdf dapat tergantung pada sembarang bilangan terbatas. Secara khusus lengkap diutamakan. Dengan pemikiran ini, kita melihat bahwa hipotesis sederhana H₀ dan H₁ tidak menjadi hipotesis tentang parameterm suatu distribusi (sebaran) ataupun suatu kenyataan berlaku pada peubah acak X₁, X₂, …. X_nyang dibutuhkan menjadi saling bebas stokhastik yaitu jika H₀ adalah hipotesis sederhana dengan pdf bersama dengan g (x₁, x₂, …. x_n) dan jika H₁ adalah hipotesis sederhana dengan pdf bersama adalah h(x₁, x₂, …. x_n) maka C adalah daerah kritik terbaik menguji H₀ melawan H₁ jika untuk k > 0.

untuk (x₁, x₂, …. x_{n )} C

untuk (x₁, x₂, …. x_{n )} C*

= Pr [X₁, X₂, …. X_n) C ; H₀]

sebagai ilustasi seperti contoh berikut :

misalkanX₁, X₂, …. X_n menyatakan contoh acak dari sebaran yang mana menyebar pdf f(x) yang positif hanya dan hanya pada bilangan bulat bukan negatif yang diinginkan adalah menguji hipotesis sederhana.

H₀ : f(x) =