Translate / Pilih Bahasa :

Selasa, 12 Februari 2013

Teorema Neyman - Person


TEOREMA NEYMAN - PEARSON

Misalkan X1, X2, …. Xn dimana n adalah suatu bilangan bulat positif tetap, menunjukkan contoh acak dari suatu sebaran pdf f(x; ). Maka pdf bersama dari X1, X2, …. Xn adalah :
L (;x1, x2, …. xn ) =  f(x1; ) f(x2; ) … f(xn; )
Katakan ’ dan ’ dua nilai  berbeda sehingga Ω = {; = ’,  = ”} dan misalkan k suatu bilangan positif, C adalah subset dari ruang contoh sehingga :
            a.   untuk setiap titik x1, x2, …. x3  C
            b.   untuk setiap titik x1, x2, …. x3  C*
            c.   = Pr [X1, X2, …. X3]  C ; H0
maka C adalah daerah titik terbaik sebesar  untuk menguji hipotesis H0  = ’ melawan hipotesis alternatif sederhana H1 :  =
Bukti :
Kita akan memberi bukti bila peubah acak adalah kontinu. Jika C adalah daerah kritik berukuran  teorema dibuktikan. Jika ada daerah kritik ukuran  yang lain katakan A untuk sebaliknya  akan ditandai dengan .  Kita ingin menunjukkan Pr [U1 (X1, X2, … Xn) ≤ C1 : H0]
Karena C adalah gabungan C A dan C A* dan A adalah gabungan himpunan A  C dan  AC* yang disebut disjoint diperoleh :
            (1)
                                               = 
bagaimanapun dengan himpunan L(”) > pada tiap titik C dan karena itu pada tiap titik C A* sehingga
tetapi L (”) > pada tiap titik C* dan karena itu tiap titik C A* karena itu
            pertidaksamaan ini menunjukkan
            dan dari persamaan (I) diperoleh
            (2)
bagaimanapun :
           
            = 
            =   = 0
jika hasil ini disubtitusikan pada (2) kita peroleh yang diinginkan 
           
jika peubah acak distrik pembuktian sama dengan mengganti integral dengan jumlah perhatian :
Suatu aspek dari teorema menjadi tekanan adalah jika C menjadi himpunan semua titik-titik (x1,x2,… xn) yang memenuhi :
, k > 0
maka menurut Teorema, C akan menjadi daerah kritik terbaik. Ketidaksamaan dapat sering dinyatakan dalam satu bentuk dimana (dimana C1 dan C2 konstan).
U1 (x1,x2,… xn; ’, ”) > C2
Pandang bentuk pertama U1 (x1,x2,… xn; ’, ”) adalah suatu statistik dan pdf dari statistik ini dapat diperoleh bila H0 benar, maka taraf signifikansi dari uji H0 vs H1 dapat ditentukan dari sebaran ini yakni.
             = Pr [U1(x1,x2,… xn; ’, ”) ≤ C1 : H0}
Bila positif k menandakan daerah kritik C yang besarnya  = Pr [X1,X2,… Xn) ) untuk k yang utama. Hal ini mungkin bahwa nilai  tidak cocok untuk tujuan yaitu terlalu besar atau terlalu kecil. Demikian jika ada statistik [U1(X1,X2,… Xn)] seperti paragraf terdahulu yang pdf dapat ditentukan bila H0 benar, kita tak membutuhkan percobaan dengan nilai bervariasi k untuk memperoleh taraf signifikansi yang diinginkan. Jika sebaran dari statistik diketahui atau dapat diperoleh kita dapat tentukan C sehingga Pr [U1(X1,X2,… Xn)] < C1 : H0] adalah taraf signifikansi yang diinginkan.
Contoh :
            Misalkan X1,X2,… Xn contoh acak dari sebaran dengan pdf
            F(x; )  = 
Uji hipotesis : H0 =  = ’ = 0 vs H1 :  = ” = 1
Sekarang 
Jika k > 0 dengan semua titik (x1,x2,… xn) sehingga  < k adalah daerah kritik terbaik.
Pertidaksamaan ini dipenuhi jika dan hanya jika – Σ xi + n/2 < in k sama halnya dengan – Σ xi + n/2 < in k = c.
Dalam hal ini daerah terbaik adalah himpunan C = {(x1, x2, …. xn) ; Σ xi > c} dimana c adalah tetap dan dapat ditentukan sehingga besar daerah kritik adalah yang c adalah yang diinginkan  sama dengan kejadian x > c/n = c1 sehingga pengujian dapat didasarkan pada statistik X dengan sebaran N (0, c/n), untuk suatu bilangan bulat positif n, besarnya sampel dengan taraf signifikan , bilangan c1 dapat diperoleh dari daftar, sehingga Pr (x > c1 ; H0) = . Karena itu jika nilai percobaan x1,x2,… xn berturut-turut x1,x2,… xn kita akan menghitung x = . Jika x > c hipotesis sederhana H0 :  = ’ = 0 akan ditolak dengan taraf signifikansi  jika x < c1, hipotesis akan diterima. Peluang menolak H0 bila H0 benar adalah  peluang menolak H0 bila H0 salah adalah nilai kuasa uji pada  = ’ =  1.
            Pr(x ≥ c1 ; H1)         = 
Contoh jika n = 28 dan  = 0,05 maka dari tabel dapat diperoleh c1  =  = 0,324 sehingga kuasa uji paling baik H0 melawan H1 adalah 0,05 untuk H0 benar dan  bila H1 benar ada aspek lain dari teorema ini menentukan sebutan khusus yaitu harus dikerjakan dengan bilangan parameter yang timbul dalam pdf. Notasi disarankan bahwa ada tetapi satu parameter. Bagaimanapun dibuat ulangan secara hati-hati untuk bukti akan mengungkapkan tak dimanapun diperlukan pdf dapat tergantung pada sembarang bilangan terbatas. Secara khusus lengkap diutamakan. Dengan pemikiran ini, kita melihat bahwa hipotesis sederhana H0 dan H1 tidak menjadi hipotesis tentang parameterm suatu distribusi (sebaran) ataupun suatu kenyataan berlaku pada peubah acak X1, X2, …. Xn yang dibutuhkan menjadi saling bebas stokhastik yaitu jika H0 adalah hipotesis sederhana dengan pdf bersama dengan g (x1, x2, …. xn) dan jika H1 adalah hipotesis sederhana dengan pdf bersama adalah h(x1, x2, …. xn) maka C adalah daerah kritik terbaik menguji H0 melawan H1 jika untuk k > 0.
            a.   untuk (x1, x2, …. xn )  C
            b.   untuk (x1, x2, …. xn )  C*
            c.   = Pr [X1, X2, …. Xn)  C ; H0]
sebagai ilustasi seperti contoh berikut :
misalkan X1, X2, …. Xn menyatakan contoh acak dari sebaran yang mana menyebar pdf f(x) yang positif hanya dan hanya pada bilangan bulat bukan negatif yang diinginkan adalah menguji hipotesis sederhana.
            H0 : f(x)                   = 
                                            =  0 pada yang lain melawan
            H1: f(x)                    =             
                                            =  0 pada yang lain
dalam hal ini   = 
                                                   = 
jika positif (>0) himpunan titik (x1, x2, … xn) sehingga (Σxi) In 2 – In [ (xi!] < In k = 1 dan n = 1 pertidaksamaan terdahulu dapat ditulis  pertidaksamaan ini dipenuhi oleh semua titik dalam C = {x1, xi = 0,3,4 …}.
Karena itu kuasa uji bila H0 benar adalah :
Pr (X1  C ; H1 ) =   1 – Pr (X1 = 1,2 ; H1)
                              =   1 -



Tidak ada komentar:

Love Calculator :